Алексей Андреевич Ляпунов родился в Москве 8 октября 1911 г.
Отец Алексея Андреевича – Андрей Николаевич Ляпунов – математик, получивший образование сначала в Московском, а затем в Гайдельбергском университетах. До 1917 г. он служил в Путевом ведомстве, а после революции в Институте биофизики и в Комиссии по изучению Курской магнитной аномалии, где сотрудничал с академиком П.П. Лазаревым, с которым его связывала близкая дружба. Будучи человеком общительным, широко образованным, большим знатоком и ценителем искусства, отец оказал большое влияние не только на формирование жизненных взглядов, научных и эстетических вкусов Алексея Андреевича, но и на стиль его общения с людьми.

Начальное образование Алексей Андреевич получил дома. В 1924 г. он поступил в 5-й класс экспериментальной школы № 42 Бауманского района Москвы. Эта школа, хотя и считалась школой с языковым уклоном, тем не менее, имела высококвалифицированных учителей по физике и математике. Всю жизнь он вспоминал своего учителя математики С.Н. Успенского: «Он всегда следил за тем, чтобы ученики не скучали. Более продвинутым он приносил отдельные трудные задачи и предъявлял к ним более жёсткие требования. Многие из них стали математиками, механиками, физиками». В школьные годы Ляпунов увлекался астрономией. Он возглавлял астрономический кружок в школе, принимал участие в работе Коллектива Наблюдателей Московского общества любителей астрономии (МОЛА), которым руководил тогда аспирант, а впоследствии профессор Московского университета, Б.А. Воронцов-Вельяминов. Алексей Андреевич вспоминал: «Кружковые занятия дали мне очень много. Астрономом, правда, я не стал, но благодаря им стал учёным». Кстати, первые научные публикации Алексея Андреевича были посвящены астрономии: в «Бюллетене КН МОЛА» в заметке А.П. Моисеева «Явление Керрингтона в сентябрьской группе солнечных пятен» (1926, № 7, с. 43) и в статье Б. Машбица «Персеиды в 1926 году» (1929, № 14, с. 109–115) были опубликованы наблюдения А. Ляпунова.В 1928 г. А.Ляпунов поступает на физико-математический факультет Московского государственного университета. Учёба в университете не сложилась: отказавшись подписать письмо о сносе в Москве очередных церквей, он вступил в конфликт с сокурсниками и перестал посещать занятия, за что и был отчислен в конце 1929 г. Больше он в университет не возвращался. 

В 1930 г. П.П. Лазарев приглашает Алексея Андреевича в Государственный геофизический институт на должность лаборанта в лабораторию сейсмики. Порученные Ляпунову эксперименты по моделированию процесса образования лунных кратеров при падении метеоритов, а затем по моделированию океанских течений, особых результатов не принесли. Вспоминая это время, Алексей Андреевич писал: «Экспериментатора из меня не получилось, но то, что я получил от самого Лазарева и его окружения, имело для меня колоссальное значение».

В 1932 г. вместе с лабораторией сейсмики Ляпунов переходит в Нефтяной геологоразведочный институт на должность младшего научного сотрудника. Здесь он занимается методами сейсморазведки полезных ископаемых под руководством крупного геофизика, впоследствии академика, Г.А. Гамбурцева. Дальнейшие научные интересы Ляпунова, всё больше тяготевшего к математике, формировались под влиянием и непосредственным руководством академика Николая Николаевича Лузина. Заметив незаурядные способности юноши, Н.Н. Лузин приобщил его к работе в области теории множеств. В 1934 г. А.А. становится младшим научным сотрудником Отдела теории функций действительного переменного Института математики им. В.А. Стеклова, где сближается со старшими учениками Н.Н. Лузина: Н.К. Бари, М.А. Лаврентьевым, Д.Е. Меньшовым, Л.А. Люстерником, А.Н. Колмогоровым, Л.В. Келдыш, П.С. Новиковым. В 1934–39 гг. Ляпунов публикует ряд работ по дескриптивной теории множеств. Сдав экстерном экзамены по университетским курсам и кандидатские экзамены, он в 1939 г. защищает кандидатскую диссертацию на тему «Об униформизации аналитических дополнений».
После защиты кандидатской диссертации Алексей Андреевич работает в области приложения теории вероятностей к естествознанию и технике, применения вероятностных методов в теории стрельбы. В 1939–40 гг. по рекомендации академика А.Н. Колмогорова Ляпунов проводит статистическую обработку обширного экспериментального материала по расщеплению наследственных признаков у гибридов, полученного тогда молодым генетиком школы Н.И. Вавилова Юлием Яковлевичем Керкисом. Впоследствии, уже после войны, Алексей Андреевич выполняет ряд работ, посвящённых приложению математики к биологии и сближается с такими выдающимися генетиками, как Н.В. Тимофеев-Ресовский, Б.Л. Астауров, Н.П. Дубинин и другие.
Жизнь в последние предвоенные годы складывалась нелегко. Сказывалось дворянское происхождение и жизненные убеждения. В 1937 г. Ляпунов был уволен из Института математики «по сокращению штатов», в связи с расформированием отдела Н.Н. Лузина. Два следующих года, не имея постоянной работы, Ляпунов на временной договорной основе читал лекции, руководил семинаром по теории множеств при Научно-исследовательском институте математики МГУ, выполнял заказные переводы. В 1939 г. он восстанавливается в Институте математики им. В.А. Стеклова в должности старшего научного сотрудника и по совместительству занимает должность доцента в МГПИ им. К. Либкнехта. Здесь он читает лекции по математическому анализу и теории функций, руководит научной работой студентов вместе с В.И. Гливенко и П.С. Новиковым. Начавшаяся в 1941 г. война застала А.А. старшим научным сотрудником Института математики им. В.А. Стеклова. Осенью 1941 г. он роет траншеи под Малым Ярославцем, участвует в ПВО Москвы. Затем – эвакуация института в Казань. Об этом времени он вспоминал так: «Настроение было тяжёлое. Научная работа не клеилась. Сотрудники Академии наук, имевшие учёную степень, подлежали бронированию, но три моих младших брата Аскольд, Ярослав и Андрей были на фронте, и я от бронирования отказался. В марте 1942 г. я был направлен во Владимирское военное училище...»
Далее – учёба и преподавание в училище, некоторое время пребывание в резервных формированиях, госпиталь в связи с тяжёлым заболеванием сыпным тифом, едва не стоившим молодому
лейтенанту жизни. С октября 1943 г. А.А. Ляпунов в качестве командира топографического разведвзвода на передовой линии фронта: он участвует в боях в Крыму при взятии Перекопа и освобождении Керчи, затем – на Украине, в Прибалтике (участвует в боях за освобождение Шауляя) и заканчивает боевой путь в Восточной Пруссии.
На фронте выполнению обязанностей по привязке к местности и ориентированию стрельбы артиллерийских батарей Алексею Андреевичу помогало знание математики и особенно теории стрельбы. Во время наступательных боёв в районе Курской магнитной аномалии Алексей Андреевич, используя свой опыт работы у П.П. Лазарева, сумел внести в артиллерийские расчеты поправку на магнитное отклонение, что обеспечило успех артподготовки. Это было замечено командованием, и в дальнейшем перед большими наступлениями ему поручалась привязка батарей не только своего дивизиона, но и всего полка. За участие в боях по освобождению Крыма А.А.Ляпунов был награждён орденом Красной Звезды (1944). В апреле 1945 г. старшего лейтенанта  Ляпунова отозвали с фронта из-под Кенигсберга и направили преподавателем в Артиллерийскую академию им. Ф.Э. Дзержинского в Москву. С Артакадемией у Ляпунова связан весьма заметный и плодотворный период жизни, который длился около 5 лет. Вначале он был лаборантом кафедры артиллерийской инструментальной разведки и одновременно преподавателем, а после демобилизации в 1946 г. старшим преподавателем кафедры математики. С самого начала
преподавания в Академии Алексей Андреевич развернул интенсивную работу по перестройке курсов математики на основе последних достижений математической науки. В частности, им был создан новый курс теории стрельбы, основанный на теории вероятностей и математической статистике. В эти годы Ляпунов публикует ряд работ по теории стрельбы, которые явились результатом его размышлений в годы войны.
А.А. Ляпунов сохранял контакты с военными до конца жизни. Его влияние в значительной мере способствовало тому, что военная наука в нашей стране была поднята до уровня фундаментальных исследований. Из учеников Алексея Андреевича по Артакадемии вышли видные военные учёные: член-корреспондент АН Н.П. Бусленко, профессор, лауреат нескольких государственных премий М.Д. Кислик, профессора А.И. Китов, Н.А. Криницкий, И.Б. Погожев, И.А. Полетаев, С.Я. Виленкин, О.В. Сосюра, С.М. Швартин, В.И. Мудров и другие.
С 1946 г. он возобновляет исследования в области чистой математики. Он получает стипендию А.Н. Крылова и поступает в докторантуру Института математики им. В.А. Стеклова АН. В эти годы он выполнил ряд глубоких работ по дескриптивной теории множеств. Основные результаты этих работ вошли в его докторскую диссертацию «Об операциях, приводящих к измеримым множествам», которую он защитил в конце 1949 г.
В 1949 г. А.А. Ляпунов начинает по совместительству работать в Институте геофизики АН (директор – академик Г.А. Гамбурцев).
В летний сезон 1950 г. он – начальник Северо-Тяньшаньской экспедиции. Предметом геофизических исследований Алексея Андреевича в этот период были повторяемость землетрясений и интерпретация гравитационных наблюдений, а также глубинное сейсмическое зондирование.
В июне 1951 г. он возвращается в Математический институт им. В.А. Стеклова. В 1953 г. по приглашению М.В. Келдыша он переходит во вновь созданное Отделение прикладной математики этого Института, где организует Отдел кибернетики. С этого времени кибернетика становится его основным делом  до последнего дня жизни.
Одновременно, с осени 1952 г., А.А. Ляпунов работает на механико-математическом факультете МГУ в качестве профессора кафедр математической логики и вычислительной математики.
В 1953 г. он организует в МГУ семинар по программированию и специальный семинар для студентов младших курсов мехмата, в 1954 г. – семинар по исследованию проблем расширения возможных областей применения вычислительных машин. В 1955–56 гг. под его руководством работает семинар по вопросам, смежным для кибернетики и физиологии.
Важным событием в научной жизни стал междисциплинарный семинар по кибернетике, организованный А.А. Ляпуновым в МГУ в 1954 г. Его участниками были математики, экономисты, инженеры, биологи, военные, лингвисты, философы. Этот семинар существовал до 1964 г. Он стал центром зарождения кибернетической мысли в нашей стране и сыграл большую роль в координации работ по кибернетике и формировании новых направлений исследований. Из числа его регулярных участников впоследствии вышли известные учёные в области теоретической и прикладной кибернетики: академики А.П. Ершов, Ю.И. Журавлёв, члены-корреспонденты АН Н.П. Бусленко, О.Б. Лупанов, С.В. Яблонский, доктора наук Р.И. Подловченко, О.С. Кулагина, В.И. Левенштейн, М.Л. Цетлин и многие другие.
В 1956 г. А.А. Ляпунов организует издание серии сборников «Проблемы кибернетики». Сборники быстро получили мировую известность. Многие выпуски и отдельные статьи переведены на английский и немецкий языки. До 1973 г. под редакцией А.А. Ляпунова вышли 29 выпусков «Проблем кибернетики», издание их продолжили ученики А.А. Наряду с этим, Алексей Андреевич заботился о переводе на русский язык зарубежных работ. Многие из них изданы под его редакцией, с его предисловиями и комментариями в виде отдельных монографий, а также в основанной им серии «Кибернетический сборник», которую он редактировал вместе с О.Б. Лупановым.
Большое внимание Алексей Андреевич уделяет философско-методологическим проблемам кибернетики. Его выступления и публикации на эту тему сыграли существенную роль в пропаганде кибернетики и в её защите от неоправданных нападок, которым она подвергалась в период становления. Научной общественности хорошо известна и деятельность А.А. Ляпунова в эти годы по организации борьбы за восстановление в правах генетики, которая подверглась беспрецедентным гонениям после печально известной сессии ВАСХНиЛ 1948 г. Широкие личные и научные связи Алексея Андреевича позволили ему вовлечь в эту деятельность многих видных математиков, физиков, химиков.
В 1959 г. по инициативе А.А. Ляпунова при Президиуме АН создается Научный совет по комплексной проблеме «Кибернетика». По предложению А.А. председателем Научного совета назначается академик А.И. Берг, а А.А. становится его заместителем.
В 1960 г. академики М.А. Лаврентьев и С.Л. Соболев приглашают А.А. Ляпунова переехать в Новосибирск, где за несколько лет до этого было создано Сибирское отделение Академии наук, и
на берегу Обского моря началось строительство Академгородка. Алексей Андреевич с энтузиазмом принял это предложение, сразу поняв, что это откроет большие возможности для развёртывания работ по кибернетике и осуществления педагогических экспериментов на всех уровнях воспитания молодежи – от дошкольного до университетского.
После переезда в Новосибирск в 1961 г., он со всей присущей ему страстностью и энергией включился в работу по созданию кибернетических научных коллективов в рамках Сибирского отделе-
ния АН. Ещё ранее по его инициативе в Новосибирский Академгородок приехали многие из его учеников и последователей. Ляпунов сыграл определяющую роль в создании Отдела кибернетики в Институте математики СО АН; он организовал в Новосибирском университете кафедру матанализа, а позже – кафедру теоретической кибернетики. В 1970 г. он организовал лабораторию кибернетики в Институте гидродинамики СО АН. Этой лабораторией он руководил до конца своей жизни. За 12 лет, прожитых в Академгородке, Алексей Андреевич сумел осуществить многие из своих педагогических замыслов.
В 1964 г. А.А. Ляпунов избирается членом-корреспондентом Академии наук СССР по отделению математики.
Научные, педагогические и организационные заслуги А.А. Ляпунова отмечены правительственными наградами. Он был награждён орденом «Знак Почёта» (1953) двумя орденами Красного Знамени (1956 и 1967) и орденом Ленина (1971).
А.А. Ляпунов скоропостижно скончался 23 июня 1973 г. в Москве, куда приехал на общее собрание Академии наук. Он похоронен в Москве на Введенском кладбище.