1. Сравнение весов

Имеется N предметов разного веса, а также весы без гирь. На весах можно сравнивать вес любых двух предметов. Какое ми­нимальное число взвешиваний необходимо для установления по­рядка весов данных предметов?

2. Покрытие для линий

Найти фигуру минимальной площади, которой можно накрыть любую плоскую линию единичной длины.

3. Три мухи

На плоскости нарисована замкнутая выпуклая кривая. Три мухи решили сесть на нее в разных местах и обползти ее по ча­совой стрелке с непостоянными и неотрицательными скоростями так, чтобы их общий центр тяжести все время оставался на месте. Всегда ли это возможно?

4. Разбиение на тройки

Для каких N первые 3N натуральных чисел можно разбить на тройки чисел (А,В,С) такие, что А + В = С?

5. Индивидуальная несовместимость

Вывести критерий, того, что треугольник со сторонами a, b, c помещается в треугольник со сторонами a', b', c'.

       6. Имеются две повозки, которые, если смотреть на них сверху,  имеют форму плоских фигур Ф₁ и Ф₂ (ограниченных областей с

          непрерывными границами). Повозки едут навстречу друг другу по тоннелю ширины h с параллельными прямыми сторонами. При какой

          наименьшей ширине h_min  они смогут разъехаться в этом туннеле? Выразить h_min через подходящие геометрические 

          характеристики фигур Ф₁ и Ф₂ .

        Памятка Юному Исследователю (от С.В. Августиновича).

          Ознакомившись с условием задачи, немного порешав или решив ее, стоит задуматься над рядом вопросов.

1. Правильно ли сформулирована задача?
2. Какие сужения допускает задача?
3. Какое обобщение допускает данная задача? Сформулируйте ее в максимально общих терминах, заменив числа переменными, а конкретные понятия – абстрактными именами.
4. Каким образом можно сформулировать аналогичную задачу?
5. Корректно ли поставлена задача? Существует ли решение? Нельзя ли сразу построить контрпример? Почему не получается его построить?
6. Является ли решение задачи единственным? Если нет – сколько различных решений?
7. Что изменится в задаче, если поменять некоторые из ее условий? Ослабить или усилить.
8. Верно ли, что задача ТОЧНА, т.е. малейшее изменение ее параметров приведет к неверному утверждению? Является ли существенным каждое из условий?
9. Можно ли в самых общих словах описать основную трудность и подходящий метод решения подобных задач? Из какой области математики задача?
10. Сформулируйте задачу, как массовую (скажем, заменив числа переменными) и определите ее сложностной статус. Является ли она алгоритмически разрешимой? За полиномиальное время?
11. Если задача непрерывная, сформулируйте дискретный аналог и наоборот.
12. Попробуйте рассмотреть вероятностную постановку той же задачи. Что происходит почти всегда?
13. Имеет ли задача игровой вариант постановки?
14. Нельзя ли условие задачи снабдить иллюстрациями: кругами, стрелками, диаграммами, матрицами? Нарисуйте табличку юного исследователя.
15. При каких минимальных параметрах задача впервые становится нетривиальной?
16. Если напрашивается перебор вариантов, попробуйте прикинуть его объем.
17. Какую программу исследований можно выдвинуть? Уместно ли использование компьютера? Какие подзадачи можно было бы поручить отдельным исследователям, если задачу решает коллектив?
18. Нельзя ли что-то полезное найти в интернете? В библиотеке? У специалиста?
19. Может ли понятие симметрии помочь в понимании задачи? Какова группа автоморфизмов основного объекта задачи? Какие инварианты будут полезны? Какие преобразования полезны и нетривиальны? Нельзя ли устранить граничные эффекты транзитивизацией?
20. Рассмотрите самый плохой случай, опишите его. Рассмотрите минимальный контрпример и попробуйте применить к нему редукцию.
21. Каково поведение основного объекта задачи при экстремальных значениях параметров? Можно ли определить его асимптотическое поведение?
22. Что произойдет при малых шевелениях?
23. Какие физические аналогии навевает данная задача?
24. При оформлении решения всегда старайтесь обойтись минимальными средствами, добиваясь максимально возможного результата. Удалось ли этого достичь?
25. Нельзя ли применить линейную алгебру?
26. Нельзя ли придумать более интересную задачу?

Задача решена лишь тогда, если создана полная, исчерпывающая теория. Хорошая задача никогда не бывает РЕШЕНА.