Исследования по математике иногда остаются исключительно в теоретическом поле, однако эта наука привлекает своей красотой. Так, ученик 10-9 класса Алексей Волошин и его научный руководитель, преподаватель кафедры математики СУНЦ НГУ Матвей Ивлев занялись изучением коммутирующих дифференциальных операторов.
Дифференциальный оператор действует на множестве функций. При этом он сопоставляет функции сумму её производных, с коэффициентами, которые являются заданными наперед функциями (прим. функции, которые не являются ни свободной, ни зависимой переменной). Порядок старшей производной называется порядком оператора. Если к функции применяются два оператора и при этом результат получается одинаковым независимо от порядка, в котором они применяются, такие операторы называются коммутирующими.
Дифференциальный оператор называется оператором ранга 2 если он коммутирует только с операторами четного порядка. Авторы исследования нашли класс новых примеров коммутирующих дифференциальных операторов, зависящих от функционального параметра. Согласно общей теории, полученные примеры должны иметь ранг 2, но для большей наглядности был найден конкретный пример оператора, коэффициенты которого являются многочленами. Для данного примера было напрямую доказано, что он коммутирует только с операторами четного порядка, то есть имеет ранг 2. Ранее в литературе не были описаны решения, которые предложили авторы.
— Я предложил Алексею попробовать заняться этой задачей, она его заинтересовала. Главная цель — увлечь ученика наукой. Нахождение коммутирующих дифференциальных операторов сводится к сложной, нелинейной системе дифференциальных уравнений. Найти хоть какое-то решение у такой системы — непростая задача. Поэтому любое новое решение вызывает интерес у научного сообщества, — рассказывает научный руководитель Матвей Ивлев.
Работа Алексея Волошина была высоко оценена на Международной студенческой конференции, где ученик СУНЦ НГУ получил диплом 1 степени. Также исследование принесло Алексею стипендию «За ранний вход в науку» имени Алексея Андреевича Ляпунова.
— Для начала мне предстояло изучить, что же такое дифференциальный оператор, а также много различной теории. В этом мне помог мой научный руководитель. После чего он научил меня работать с дифференциальными операторами и дал несколько тренировочных задач. Затем мы занялись основным исследованием. В ходе проекта я стал лучше понимать математику, а также научился работать с дифференциальными операторами. В результате были найдены примеры коммутирующих дифференциальных операторов ранга 2, выяснилось, что найденные операторы не могут коммутировать с операторами 2 и 6 порядков, — делится Алексей Волошин.
Алексей планирует продолжать работу над исследованием, чтобы найти новые примеры операторов.
